如何合理衡量自然增长？也许你可以从文章中得到一些答案。
虽然按照文的脾气，他喜欢按照纯粹的逻辑顺序来叙述这件事，但是因为是最近独立思考产生的一个全新的理论，而且没有参考对象，所以这篇论文的目的就是想和更多的人讨论这个理论的可行性，所以我们提出几个问题让观众产生一些疑惑，好让几个观众愿意读出来和我一起讨论。
只要我投入更多的钱，就能带来更多的用户？
每次额外投入一笔钱，就能带来一批额度差不多的用户？
投资和用户增长之间有没有最合理的价值？
广泛传播的“指数增长”真的是指数级的吗？指数增长代表什么状态？非指数增长产品的危机是什么？
到现在，所有不感兴趣的人都应该已经离开了，所以我会和那些选择留下的人讨论成长。
概念的个人主观解释：
在本文中，作者将增长分解为三个部分：
用户自发自然增长：用户在没有任何资源的情况下自发传播产生的增长。
投资资源促进用户自然增长：投资一些资源，但资源不是用来直接增加用户的，而是投资联系用户，在向用户介绍某一部分产品后，吸引用户的兴趣，用户自发进入；能以效益吸引用户进入，不会直接离开产品的增长模式也属于这一类。
暴力推广带来直接增长：直接给用户真正的收入或收益，收入和收益的条件是下载/注册产品，而不管用户是否会在短时间内立即离开产品。
在本文中，我将前两类归类为自然增长。
为什么我突然想到了这个问题？
在谈论自然增长之前，我想和大家谈谈我观察到的两个现象，这促使我开始思考这个问题：
1.增长指标
在很多公司，我都发现了这样一个现象：尤其是对于To C产品，当我们设定一个阶段的增长目标时，似乎有一个公式是永恒的：
指数=经验拍脑袋。
很多人根据自己多年了解行业的经验，临时设定一个指数。如你所见，它们基本上是1，000，10，000，100，000……的整数倍，这让我想到，对于一个自然增长的产品，难道没有一个简单易行的方法来预测下一阶段我们会达到多少用户吗？
2.“资源量=增长速度”这个等式对吗？
当然，大家都会觉得上面的方程式很蠢，那么成长的极限在哪里呢？
为了搞清楚问题，我假设了一个最简单的情景
(概念：裂变是指当用户处于自然增长状态时，一个用户可以带来几个新用户，然后我认为初始用户已经裂变；这种生长叫做裂变生长，你可以和细胞分裂相比较。
如果我们从个体层面全面解释用户增长，就会是这样的：
在XXX时间内，X%的用户能够产生裂变，并且这些用户中的每一个都邀请了X个新用户：
在这些用户中，有自然传播带来的X位。XX资源带来了x位。
我们可以提取四个重要的独立参数：
用户比例是多少？
一段时间？
多少裂变？
投入了多少资源？
但如果我同时考虑这么多变量，需要多元函数来求解，相信你也不会相信计算机拟合出来的答案。所以，我假设一个最简单的情况：
如果有正在开发的基于邀请的社区产品，用户必须有邀请码才能注册，每个人每个月只能发出一个邀请码。按照目前的用户增长率，用户数量每个月都会翻一番(即所有进入的用户都邀请了一个人)；
然后，一个月后，这个社区的用户量限制为e(自然常数， 2.71828.)次；(在这种情况下，假设每个进入的新用户在无限小的时间后立即开始邀请下一个用户，您可以假设它是1ns)。
上述结论是通过一个非常简单的公式得到的：
我们可以得到：
以下部分是推演：(如果知道这个结论是怎么来的，有很好的数学基础，可以直接跳过):
假设有一个单细胞生物，每24小时分裂一次。
所以很明显，这些生物的数量每天都在翻倍。今天一个，明天两个，后天四个。我们可以写出一个增加数量的公式：
上式中的x代表天数。这些生物在x天内的总数是2的x次方。该公式可以更改为以下内容：
其中，1代表原始数量，100%代表单位时间内的增长率。
我们继续假设每隔12小时，也就是分裂进行到一半时，新产生的半个细胞就能再次分裂。
因此，一天24小时可以分为两个阶段，每个阶段在前一阶段的基础上增加50%。
一天下来，我们得到了2.25个细胞。其中1个是原创，1个是新的，另外0.25个是新细胞的一半。
如果我们继续修正假设，这个细胞每8小时就可以独立分裂一次，也就是把一天分成三个阶段。
然后，最后，我们可以得到大约2.37个细胞。
自然，如果我们进一步假设这种分裂是连续的，并且新的细胞每分钟都有继续分裂的能力，那么一天最多可以获得多少个细胞呢？
当n趋于无穷大时，这个公式的极值等于2.718281828。
因此，当增长率为100%时，我们单位时间最多只能得到2.71828个细胞。数学家称这个数字为e，意思是单位时间内增长持续翻倍所能达到的极限值。
这个值是自然增长的极限，所以基于E的对数称为自然对数。
所以，我得到了最简单的增长情况，我进一步推广：(以下都是极端情况，即什么是最快/最大，其实很难实现)。
如果我的基数是100个用户，那么我一个月就会有100e个用户。
如果用户不能只邀请一个人，那么一个人可以邀请两个人(甚至不限于近期数据观察邀请的平均人数为五人)；或者不是所有用户都邀请了新用户。根据最近的数据，平均有15%的用户邀请了新用户。
定义：rate=“百分之几的用户”*“每个用户邀请多少人”。
限制是：
如果我们在两个月后寻求增长呢？
在时间t的情况下，一般公式为：
同样，我们可以计算出增长到一定规模所需的时间：
比如5%的用户发邀请，一个用户邀请一个人，100个用户变成200个的最快时间是。
计算结果为13.86个月：(所以不要为了稳定增长而加速自然增长，怕破坏用户的增长。当然，暴力增长总是被劝阻的)。
上面，我们讨论了所有极限情况，得到了极限情况下的增长函数：
一段时间后的用户规模预测如下：(m为当前用户规模，rate=“time t”*“参与邀请的用户比例%”*“每个用户邀请的人数”)。
极限公式不仅适用于用户增长的极限，也适用于相对稳定环境下的经济规模、销售增长、产品销售增长等指标。其实这个数值并没有我们在数学中常用的那么快(即指数增长)，而且往往在实际场景中，增长是这个极限前端的一部分：
它有什么意义呢？
我们可以看到，这个极限公式的曲线在实际上升到巨大规模之前并没有那么陡峭，也就是说，即使我投入更多的资源，我能达到的极限也是这条曲线，所以超出这条极限曲线上数据点的所有增长指标都不可能通过自然增长(裂变增长)来实现。
另外：在实际的业务案例中，初始用户往往不是从1开始的，这样他会自然成长，我们会准确的放在一组我们认为目标客户聚集的地方，也就是这时不符合这个曲线，所以我们的经典产品曲线如下：
就像推小米的一个新功能，在我们朋友圈转发和发到小米论坛是一样的。发到小米论坛不符合自然增长，但是当功能开始走出小米论坛的时候，就开始扩散了，所以我们的实际曲线往往是从这里开始的：
极限有了，怎么才能预测我的产品下个阶段的指标数据呢？
我们继续沿着极限公式的最终结论公式推导：
当计量单位不是月份的时候，也可以应用这个公式，e速成长以一个计量单位为一个时间单位，比如一年一天一秒。我们只需要定义一个阶段是多少。例如，我们可以定义“1秒=1”、“1年=1”或“1年=365”。x随该阶段的时间定义而变化。“30/x”、“365/x”或“1/x”可以由我们自己定义。
我们可以得到下一阶段的用户数就是这个阶段的用户数：(x表示用户进入x天后会开始裂变)。
如果所有用户进入后，用户没有增加100%(不是一个用户拉一个人)，而是X天后增长率是一个百分比(也就是之前的增长率)，我想知道30天后用户量变化到这个阶段：
如果不是30天，并且还包括上一篇文章中的时间推广结论，那么下一阶段的用户数为：
所以，我们有一个极限值——。我们有一个关于E的指数函数(它决定了增长的上限)。我们有一个正常范围内的计算公式(它预测下一阶段要达到的数量)。我们能做什么？
1.准确预测某一指标(业务量、用户数等)的增长情况。)，并打破原有的(不合理的预测方法“指数=经验会谈”)。
2.增长极限是指数级增长，所以即使投入更多的资源，“1e”的过程甚至很多产品本身都可以实现指数级增长。因此，没有必要为了让增长更快而加大投资，但这是有限度的。
3.e是指数级增长基数的极限，但是大部分公司都会在推广和营销部门投入资源，所以不是所有的流量都会自然增加。也有用户因为人工推广而被推广明白愿意投资增长，用户的指标通过推广被迫短时间增加的情况。我们可以通过一段时间的增长曲线中观察到的增长来判断当前的投资是否合理，用户是否真的认可产品或者只是因为市场投资而进入，也就是如果增长无法满足常规增长量的预测值(如果每个阶段都很低)，可以说产品没有得到用户的认可，虽然现在还在增长，但如果继续下去，产品肯定会衰退崩溃(由“创新扩散曲线”理论决定)等。
让我们用这两个模型来分析具体的案例。
增长案例分析
完美的裂变式增长案例——slack
Slack是一款基于云的团队协作软件，连营销团队都没有，只是依靠口碑营销和品牌影响力来获取用户(Slack最近才组建了营销团队，为什么需要这样做呢？原因将在分析后解释)，也就是说，它是纯粹的自然增长。
上图是slack的用户数变化曲线。我们尝试从曲线中提取一个数据点，并自己进行分析：
因为图基本符合E的指数增长，也就是slack的用户以近乎极端的速度增长，所以我们不得不用极限状态公式来分析它的增长：
通过比较，我们可以得到以下信息：
1.slack的增长率为46.74%，即“裂变用户百分比”*“每人裂变用户数”=46.74%，因此我们可以轻松得到下一段时间的slack用户数。例如，我们可以计算出2015年2月松弛用户数为52万(即自变量为10)。从图中可以看出，松弛度将为232k。
2.为什么2.slack几乎呈指数级增长？
因为在上图的分析中，N个参考维度(横坐标，也就是前面提到的“一个阶段”)是月份，每个slack用户进入后都准备邀请下一个用户进入，这个时间段x与一个月相比是非常短的时间，所以slack在这个维度上几乎是指数级增长的。
3 .松弛度正在接近极限地增长。这是什么意思？
(2)slack产品足够好，用户认可并愿意自发推广(相反，如果不是指数级增长，实际上你的产品可能不会被很多用户认可，如果策略不变，你的产品危机就会到来，但还没有开始，就像2008年美国的房地产证券一样)。
在这一点上，需要说明的是，很多媒体的指数级增长往往是大量资金人为驱动投资的结果(甚至是暴力推广的结果，我相信是超越指数型的)，因为增长的极限是指数函数。事实上，如果每个用户的投入减少，就不会再呈指数级增长，也不是像slack那样纯粹靠产品力驱动的增长，不需要任何投入，可以一直保持指数型。
当然，在实际产品中，稳健的投资于每个用户，诱导用户对产品产生信任，然后进行自然增长(也就是我一开始定义的第二类自然增长)也是加速增长的好方法，是可持续的。
(3)要想增加用户的增长率，我们的投资实际上是增加用户的裂变率和裂变变量，即推动更多的老用户推荐，推动老用户推广更多的人；因为已经到了极限增长曲线，扩大新用户等措施实际上并不能让增长速度更快，而只能增加增长基数(反而增长速度可能会因为营销厌恶、营销对象不符合目标用户画像等原因而放缓。).
4.如果我已经指数级增长，我想投入资源加速这种自然增长(仍然是自然增长，不是暴力提升)，最终实现下图所示的变化。如何评价自己的投入产出比？有没有最合理的投资？我们将在第二阶段讨论这个问题，因为作者还在摸索中。我希望你能和我讨论一下。
5.指数级增长还会继续吗？
当然，从slack数据我们可以看到，这个表只给出了slack到50w用户规模的曲线，并没有因为目前的增长还没有达到变化的时间点而有其他的趋势。那么，大众产品曲线的拐点在哪里？
产品增长的拐点——姑且以网易云音乐举例
在这一部分，我想解释一下对于一般的成长型明星产品来说，这些明星产品的未来趋势会是怎样的。(因为资料有限，只能以网易云音乐为例。如果你有合适的数据，想和我讨论，那就太好了。)
总的来说，从我们看到的新闻稿中，我们把网易云音乐的成长总结如下：
看起来像是指数级增长的产品，对吧？但实际上，产品不会像上面那样增长。根据网易自己发布的《网易云音乐2016上半年用户行为大数据》，网易云音乐的用户趋势如下：
虽然我们还没有验证这一趋势的真实性，但姑且认为这一趋势是正确的，并在此基础上分析一下，为什么网易云没有指数级增长到2亿，而是在5500万用户产生了拐点，为什么在1亿之后又恢复了增长趋势。(我只分析任何行业都通用的分析方法，不同行业不同的特殊因素促成这个拐点，相信读者会更了解。).
传播学教授埃弗雷罗杰斯在综合研究了508多项扩散研究后，在其著作《Duffision of Innovation》中提出了著名的“创新扩散曲线”理论。罗杰斯用这个理论来描述个人和组织采用创新的过程。在很多著名的演讲中，你可能在各种名人中听过这个理论，但我再给你演示一遍：
蓝线表示整个人群中有2.5%的人被称为创新者，他们是新机一上线就不分昼夜去专卖店门口排队购买的人(当然现在不用这么做)；13.5%的人被称为早期采用者。他们可能看到了朋友圈第一批人晒出来的新iphone机。他们听说不错，然后就去买了。其次，68%的人是因为前两类的影响力和市场变化缓慢而随大流的人。最后16%是落后者。他们是在触摸屏广泛使用的情况下仍然坚持使用按键的人。(如果你从事的是一个与销售密切相关的行业，也可以关注这里的黄线，这是市场份额的曲线，所以本文就不做过多描述了。).
让我们用这个理论来看看音乐行业。根据国家统计局2010年人口普查的数据，16-44岁的人口是5.48亿(当然，你可以感觉到这个数据现在已经变了，这只是一个估算的例子。在实际行业中，我们都会知道我们的目标用户有多大)。
我假设5.48亿这个数字是最终的用户规模；
根据城乡人口普查，城镇人口占57.35%。我觉得城市人口是最先收到新音乐播放器产品的(假设这是所谓的行业影响因素)。我知道城市人口约为3.14亿。
城市人口乘以2.5%，得到785万，这是这个玩家走向大众化产品需要达到的基本用户数；乘以16%(2.5% 13.5%)，得到5000万，这是创新者和早期采用者的总数，对应网易云音乐地图上的拐点，因为此时产品已经进入了一个缓慢增长的过渡期，从吸引喜欢新产品的人到吸引追随者。
(4)1亿到2亿的增长是怎么来的？我假设该段落也是指数型的，如图所示。事实上，这与自然增长的第二部分相对应。每个用户平均花费一定的金额来促进用户的自然增长。我们可以看到网易云在这期间有很多动作，结果就是在稳定增长的推广策略下，用户过了过渡期后，跟随者也因引导而自然增长。
但如果我们更实际一些，在产品生命周期的每一个小阶段，难免会产生一些大动作，比如影响目标用户数量的功能、知名媒体的曝光、产品的成功营销等等。在这种情况下，我们有没有办法预测用户数量？
阶段性的指数增长——以滴滴为例
如果我们只是普通的产品，不能单纯依靠第一种自然增长，而且变化速度极快，所以会有很多大动作影响用户甚至目标用户的增长。此时，用一个函数来预测整个生命周期的指标往往是不准确的。我们以滴滴打车为例：(这其实是滴滴下载的数据，不是用户数，所以不准确，但足以把问题说清楚。).
同样的，我们拿出一张数据来分析滴滴，因为观察到的增长趋势大致符合指数增长极限，所以我还是尝试用极限公式来接近滴滴打车的数据：
虚线是一个试图拟合的函数。可以发现，这个误差非常大，甚至趋势都不一样。我重新观察了原始的数据图，发现我拿的所有数据段都有很大的版本迭代，没有版本迭代的变化节点。经查询，滴滴于2014年12月7日宣布新增融资7亿美元。所以我首先做了一个尝试，我将变更节点之间的数据拟合如下：
这时我们发现了一件事：在一个重大事件之后，在另一个重大事件之前，用户仍在以稳定的指数极限增长，但每次重大事件发生时，这种增长趋势都会被另一种新的指数极限增长趋势所取代。
也就是说，在实际情况中，如果环境发生变化，在下一次变化之前，我们认为增长是稳定的(对于用户认可的健康产品)，并且在这个范围内，我们仍然可以用之前的极限公式和正常增长公式来预测。
这个理论什么情况下会失效？
所有即将崩溃的产品(用户不认同，增长不是裂变，而是市场和推广投入驱动的)，或者正在崩溃的产品(每个阶段的用户净亏损)，这个理论都会失效。当然，从增长趋势来看，我们可以判断产品是否在增长，但如果持续下去就会崩溃，这一点在前面的示例讨论中已经解释过了，这里就不再赘述。
投入产出比的最合理值
我们知道，如果我们稳定地投资资源，我们可以通过促进自然增长来达到增长极限。如果继续投入资源，可以控制另外三个参数，即缩短一个阶段的时间，增加有裂变的用户比例，或者增加每个用户可以裂变的用户数量。(以下公式反映了n和a%将增加)。
所以，因为指数函数和指数函数之间的变化不是线性的，所以存在数学意义上最合理的投入产出比。接下来，我会和你讨论这个未完成的部分。
数学意义上的极限在哪
让我们来看看增长的最初分类：
这里我假设第一类自发自然增长的用户总数为A，第一类和第二类自然增长的用户之和为B，我们假设没有暴力推广带来的用户增加(作者也强烈建议不要引入这类用户)。这个时候我觉得“B-A”是投资带来的用户增长的部分，我把所有的资源都转化了。
是基金，是C.
投入产出比=C/(B-A)
所以我们引入B和A，我们可以得到以下结果：
显然这个数值太大了，世界上没有一个经济体能达到C/(e-1)的投入规模，所以这个数学极限实际上是不可用的。
从实际出发呢？
虽然上面的推断是错误的，但是思路是正确的。同时，我发现我可以用我现有的“用户规模(x)”*“每用户平均投资(c)”代替投资，但用户增长也与用户规模有关，所以我可以得到以下公式：
我们假设这里的场景给朋友圈转发带来了自然增长，其中f(x)=a*b*c*x(a是每个用户可以转化的平均用户数，b是转发率，c是留存率)，那么就可以得到最大值。但是这个公式仅限于求解转发通道的最优投入产出，是否可用值得怀疑，所以投入产出比有望和大家进一步探讨。
总结
由于本文的目的更多的是与他人讨论理论，因此作者的整个推导过程描述如下。为了方便应用，这里提取了本文预测指标实际应用的两个公式(当然对趋势曲线的理解需要你去文章中):
极限状态下的增长公式：(方程右侧)。
正常情况下，预测下一阶段用户数(指数规模/经济)的公式：(注意，此公式仅用于计算各点的数值，不代表整个增长的趋势函数)。
当然，本文描述的任何趋势都只是逻辑上有效的。事实上，无论在任何阶段，只要投资推动剧烈增长或产品处于亏损(崩盘)趋势，趋势都可以随意改变。
不过，我只想告诉你，自然增长的趋势是什么。只有将资源投入自然增长阶段，才能获得最大回报，投入产出才会最高。在不同阶段，将设定相同的增长指数。这样一来，达到16%之后的增长会变得异常困难，为了保持增长必须投放越来越多的资金，但是保持下去就不太好了。
其实，把一群“后跟随者”逼到“创新者”的位置是很少见的。从人性的角度来看，这个人有必要做一些违背自己人格的事情。即使短期内保持指数增长，实际上也是弊大于利。
期待你与我讨论
由于数据有限，作者逻辑正确的结论可能实际上并不正确。如果你有合适的数据可以和作者讨论，或者对文章中的理论和你自己的解释有疑问，那就太好了。作者欢迎您与我一起探讨和完善这一理论，作者撰写本文的目的已经达到。
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